Teil 1: Analyse, Interpolation, Differentiation, Nullstellen

1 Analyse-Grundlagen numerischer Verfahren

1.1 Einführung
1.2 Maschinenzahlen und Computerarithmetik
1.3 Fehlerfortpflanzung
1.4 Aufgaben

2.1 Einführung
2.2 Polynominterpolation

2.2.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz
2.2.2 Der NEVILLE- Algorithmus
2.2.3 Die NEWTONsche Interpolationsformel
2.2.4 Fehler und Konvergenz der Polynominterpolation

2.3 Rationale Interpolation

2.3.1 Aufgabenstellung und grundlegende Begriffe
2.3.2 Der STOER- Algorithmus
2.3.3 Der THIELEsche Kettenbruch
2.3.4 Fehler bei der Rationalen Interpolation

2.4 Spline- Interpolation

2.4.1 Definition und grundlegende Eigenschaften von Splinefunktionen
2.4.2 Berechnen der interpolierenden kubischen Splines
2.4.3 Fehler und Konvergenz der Spline-Interpolation

2.5 Aufgaben

3.1 Einführung

3.1.1 Aufgabenstellung und grundlegende Begriffe
3.1.2 Die PEANOsche Darstellung des Quadraturfehlers
3.1.3 Konvergenz von Quadraturverfahren

3.2 Die NEWTON-COTES-Formeln

3.2.1 Die geschlossenen NEWTON-COTES-Formeln
3.2.2 Die offenen NEWTON-COTES-Formeln
3.2.3 Zusammengesetzte NEWTON-COTES-Formeln
3.2.4 Quadraturformeln mit gleichen Gewichten

3.3 Die GAUSSsche Integrationsmethode

3.3.1. Orthogonalpolynome
3.3.2 Berechnen der Stützstellen und Gewichte

3.4 Das ROMBERG-Verfahren

3.4.1 Die EULER- MacLAURINsche Summenformel
3.4.2 Konstruktion des ROMBERG-Verfahrens
3.4.3 Fehlerabschätzungen und Konvergenz

3.5 Aufgaben

4.1 Interpolatorische Differentiationsformeln
4.2 Der Fehler interpolatorischer Differentiationsformeln
4.3 Extrapolationsverfahren
4.4 Aufgaben

5.1 Einfache Iterationsverfahren
5.2 Konvergenzbetrachtungen
5.3 Konvergenzbeschleunigung
5.4 Hybridverfahren
5.5 Aufgaben

Teil 2: Anfangs- und Randwertprobleme, lineare Gleichungssysteme

6 Anfangswertprobleme

6.1 Einführung
6.2 Einschrittverfahren

6.2.1 Grundlegende Begriffe und EULER-Verfahren
6.2.2 RUNGE-KUTTA-Verfahren
6.2.3 Konvergenz von Einschrittverfahren
6.2.4 Rundungsfehlereinfluß
6.2.5 Schrittweitensteuerung
6.2.6 Steife Differentialgleichungen und implizite Verfahren

6.3 Mehrschrittverfahren

6.3.1 Prediktor-Korrektor-Verfahren
6.3.2 Konvergenz von Mehrschrittverfahren

6.4 Extrapolationsverfahren
6.5 Aufgaben

7.1 Einführung
7.2 Das einfache Schießverfahren
7.3 Die Mehrzielmethode
7.4 Differenzenverfahren
7.5 Aufgaben

8.1 Allgemeine Grundlagen und Störungstheorie

8.1.1 Vektor- und Matrixnormen
8.1.2 Ordnungen und Absolutbeträge
8.1.3 Spezielle Transformationsmatrizen
8.1.4 Eigenwerte und Singulärwerte
8.1.5 Störungstheorie

8.2 Direkte Lösungsverfahren

8.2.1 Die LU-Zerlegung
8.2.2 Rundungsfehleranalyse der LU-Zerlegung
8.2.3 Pivotisierung und Skalierung
8.2.4 Symmetrische Matrizen
8.2.5 Orthogonalisierungsverfahren

8.3 Iterative Verfahren

8.3.1 Iterationsverfahren und Konvergenzbetrachtungen
8.3.2 Das JACOBI- und das GAUSS-SEIDEL-Verfahren
8.3.3 Nachiteration
8.3.4 Das cg-Verfahren von HESTENES und STIEFEL

8.4 Aufgaben

Teil 3: Eigenwerte, Ausgleichsprobleme, Minimierung

9 Eigenwerte symmetrischer Matrizen

9.1 Grundlegende Definitionen und Sätze
9.2 Störungstheorie
9.3 Das JACOBI-Verfahren
9.4 Die Vektor- und Teilraumiteration
9.5 Die Inverse Iteration nach WIELANDT
9.6 Orthogonale Transformationen auf Tridiagonalform
9.7 Der LANCZOS-Algorithmus
9.8 Der QR-Algorithmus
9.9 Der QR-Algorithmus für Tridiagonalmatrizen

10.1 Problemstellung und klassische Lösung
10.2 Störungstheorie
10.3 Normalgleichungsverfahren
10.4 Orthogonalisierungsverfahren
10.5 Aufgaben

11.1 Einführung

11.1.1 Aufgabenstellung und grundlegende Begriffe
11.1.2 Differenzierbarkeit und Richtungsableitung
11.1.3 Optimalitätskriterien

11.2 Ein Modellalgorithmus

11.2.1 Schrittweitenstrategien bei glatter Zielfunktion
11.2.2 Konvergenz des Modellalgorithmus bei glatter Zielfunktion

11.3 Quasi-NEWTON-Verfahren

11.3.1 Das NEWTON-Verfahren und das gedämpfte NEWTON-Verfahren
11.3.2 Verfahren der OREN-LUENBERGER-Klasse
11.3.3 Algorithmen zur Aufdatierung von LDL-Zerlegungen

11.4 Trust-Region-Verfahren